Die wichtigsten Teilgebiete der elementaren formalen Logik sind die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik. Während in der Aussagenlogik Aussagen (d.h. wahrheitsfähige Sätze) nicht weiter analysiert werden und ca. die verschiedenen Junktoren, die Aussagen miteinander verknüpfen, relevant sind, beruht die Prädikatenlogik auf einer genaueren Unterscheidung zwischen verschiedenen Ausdruckskategorien wie Termen, Funktoren , Prädikatoren und Quantoren.

Die bis zu dem 19. Jahrhundert dominante Syllogistik, die auf Aristoteles zurückgeht, lässt sich als ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen.

Die moderne formale Logik widmet sich der Aufgabe, exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und die logische Gültigkeit von Aussagen (Tautologien) zu entwickeln. Hierzu wurden verschiedene Verfahren entwickelt.

Insbesondere in dem Bereich der Aussagenlogik (aber nicht nur) sind semantische Verfahren gebräuchlich, also solche Verfahren, die darauf beruhen, dass den Aussagen ein Wahrheitswert zugeschrieben wird. Hierzu zählen einerseits:

• Wahrheitstabellen

Während Wahrheitstabellen eine vollständige Auflistung aller Wahrheitswertkombinationen vornehmen (und insofern auch ca. in dem aussagenlogischen Bereich verwendbar sind), gehen die beiden übrigen (auch prädikatenlogisch verwertbaren) Verfahren nachdem Schema einer Reductio ad absurdum vor: Wenn eine Tautologie bewiesen werden soll, geht man von ihrer Negation aus und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Hier sind drei Varianten gebräuchlich:

• Resolution,
• Semantische Bäume und
• Beth-Tableaux

Zu den logischen Kalkülen, die ohne semantische Bewertungen auskommen, zählen:

• Axiomatische Logikkalküle
• Systeme natürlichen Schließens
• Sequenzenkalküle
• Dialogische Logiken

Die klassische Aussagen- und Prädikaten-Logik kann einerseits modifiziert werden, indem man die Sprache um weitere Operatoren für bestimmte Redebereiche anreichert. So beschäftigt sich die Modallogik mit Ausdrücken wie "notwendig" oder "möglich"; die deontische Logik mit "geboten" oder "erlaubt"; die epistemische Logik mit "wissen" und glauben". Diese Logiken werden häufig als philosophische Logiken genannt.

In einer wiederum anderen Stellung zur klassischen Prädikaten- und Quantorenlogik stehen pragmatische Logiken , die sich nicht ca. mit apophantischen, also wahrheitsfähigen Aussagen, sondern auch mit anderen Sprechakten wie Aufforderungen oder Fragen beschäftigen. Hierzu zählen die Fragelogik , die sich mit Fragen (häufig als Aufforderung zu dem Machen einer Behauptung verstanden) beschäftigt, sowie die Imperativlogik , die es mit logischen Relationen, die zwischen Aufforderungen bestehen, zu tun hat.

Gilbert Ryle (1900 - 1976) entwickelte eine nichtformale Logik der Umgangssprache.

Die meistdiskutierten Abweichungen von der klassischen Logik stellen solche Logiken dar, die bestimmte Prinzipien, die in der klassischen Logik gültig sind, problematisieren. Die in dem engeren Sinne nicht-klassischen Logiken sind schwächer als die klassische Logik.

Hierzu gehören der von L. E. J. Brouwer entwickelte logische Intuitionismus, der die Gültigkeit des "tertium non datur"

(TND)

und der "duplex-negatio"-Regel

(DN)

bestreitet, der Minimalkalkül I. Johanssons, in der das "ex falso quodlibet "

(EFQ)

zurückgewiesen wird sowie die sich hieran anschließenden Relevanzlogiken , die generell ca. solche Implikationen als gültig anerkennen, in denen das Antezedens für das Sukzedens relevant ist.

Auf der anderen Seite sind Logiken zu erwähnen, die Prinzipien enthalten, die klassisch nicht gültig sind. So gilt etwa in einer konnexen Logik - ein Satz, der trotz seiner hohen Plausibiltät keine klassische Tautologie darstellt. Insofern die klassische Logik maximal-konsistent ist, d.h. insofern jede echte Verstärkung eines klassischen Kalküls zu einem Widerspruch führen wurde, könnte dieser Satz nicht etwa einem klassischen Kalkül als weiteres Axiom hinzugefügt werden; vielmehr müsste ein klassischer Kalkül zunächst schwächer gemacht werden.

Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken, in denen der aristotelische "Satz vom Ausgeschlossenen Dritten" außer Kraft gesetzt wird, wie die dreiwertige Logik und die unendlichwertige Logik von Jan Łukasiewicz ("Warschauer Schule"), die in der Fuzzy-Logik praktische Anwendung finden, und die endlichwertige Logik von Gotthard Günther ("Günther-Logik"), die auf Probleme der sich selbst erfüllende Voraussagen in der Soziologie angewandt wird.

Klassische Logiken wie Aussagen- und Prädikatenlogik verfügen über die Monotonie- Merkmal. Diese besagt in dem Wesentlichen, dass durch Schlussfolgerungen lediglich neues Wissen gewonnen, nicht aber bereits vorhandenes Wissen revidiert werden kann. Was einmal bewiesen wurde, bleibt in einer monotonen Logik stets gültig, auch dann, wenn man zu einem späteren Zeitpunkt über neue Information verfügt.

Nichtmonotone Logiken ermöglichen eine Revidierung gewonnener Erkenntnisse. Haben wir aus den Aussagen "Tux ist ein Vogel" und "Vögel können fliegen" geschlossen, dass Tux fliegen kann, so revidieren wir diesen Schluss, wenn wir die zusätzliche Information "Tux ist ein Pinguin" erhalten. Dies ist freilich ca. möglich, wenn wir eine andere Konsequenzoperation benutzen als in einer klassischen Logik. Ein gängiger Ansatz besteht darin, so genannte Defaults zu benutzen. Ein Default-Schluss ist dann gültig, wenn sich nicht aus einem klassisch-logischen Schluss ein Widerspruch zu ihm ergibt.

Die Schlussfolgerung aus dem gegebenen Beispiel würde dann so aussehen: "Tux ist ein Vogel" bleibt die Voraussetzung (prerequisite). Wir kombinieren diese nun mit einer so genannten Begründung (justification): "Vögel können normalerweise fliegen." Aus dieser Begründung schließen wir, dass Tux fliegen kann, solange nichts dagegen spricht. Die Konsequenz lautet also "Tux kann fliegen." Erhalten wir nun die Informationen "Tux ist ein Pinguin" und "Pinguine können nicht fliegen", so ergibt sich ein Widerspruch. Über den Default-Schluss sind wir zu der Konsequenz gelangt, dass Tux fliegen kann. Mit einer klassisch-logischen Schlussweise aber konnten wir nachweisen, dass Tux nicht fliegen kann. In diesem Fall wird der Default revidiert und die Konsequenz des klassisch-logischen Schlusses weiterbenutzt. Dieses - hier grob beschriebene - Verfahren wird auch als Reiter'sche Default-Logik genannt.

In einer possibilistischen Logik werden klassisch-logische Aussagen mit Möglichkeits- und Notwendigkeitsgraden quantifiziert. Man kann dann possibilistische Resolutionsverfahren benutzen, um aus einer Menge possibilistischer Formeln neue possibilistische Aussagen abzuleiten.

Die folgenden Abschnitte beschreiben den formalen Aufbau logischer Systeme. Es wird ein formaler Rahmen geliefert, welcher beliebige Logiken umfasst und so den Vergleich und die Behandlung der Ausdrucksfähigkeit verschiedener Logiken ermöglicht.

• Σ = Signatur
• Int(Σ)= Menge aller Interpretationen über der Signatur Σ
• For(Σ)= Menge aller Formeln über der Signatur Σ
• = Erfüllungsrelation

Die mengentheoretische Intuition hinter dem Begriff der Signatur ist eine Menge aus Namen und Begriffen, durch die alle Elemente einer zu repräsentierenden Wissensbasis W formalisiert werden. Genauer gesagt handelt es sich bei den Elementen einer Signatur um Namen, die nach Prädikaten und Funktoren klassifiziert und nach ihrer Stelligkeit differenziert werden.

Aussagenlogische Signatur

Signaturen in der Aussagenlogik enthalten als Elemente nullstellige Namen oder Bezeichner, die auch als Aussagenvariablen genannt werden.

Beispiel: Σ_AL = {Schnee,schneit,Sonne,kalt}

Prädikatenlogische Signatur

Signaturen in der Prädikatenlogik 1. Stufe beinhalten null- und mehrstellige Funktoren und Prädikate. Somit kann eine Signatur in der Prädikatenlogik als Tupel betrachtet werden, wobei git:

Mit

• Func = Menge von null- oder mehrstelligen Funktoren nullstellige Funktoren werden als Konstanten genannt
• Pred = Menge von null- oder mehrstelligen Prädikaten

Aufgrund der Tatsache, dass die Aussagenlogik eine echte Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe ist, enthält die Menge aller prädikatenlogischen Signaturen ebenso die Menge aller aussagenlogischen Signaturen als echte Teilmenge. Daraus folgt, dass die Aussagenvariablen durch nullstellige Prädikate modelliert werden könen. Diese können atomare Formeln, also die Atome der Aussagenlogik darstellen.

Beispiel: Σ_PL1 = {Schneewegschaufeln(x,y),Mann,Gehweg,Kinder,Einfahrt}

Die wichtigstes Merkmal einer Interpretation innerhalb des logischen Systems besteht darin, dass sie, zusammen mit der Erfüllungsrelation, die Verbindung zwischen der Syntax (in Form der Signatur Σ) der Repräsentationssprache und der Semantik von Aussagen herstellt, indem sie die Namen der Signatur zu Objekten einer Wissensbasis W zuweist.

Interpretation in der Aussagenlogik

Bei der Interpretation einer aussagenlogischer Signatur wird jeder Aussagenvariable aus der Signatur Σ ein Wahrheitswert zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt durch eine Interpretation σ für die gilt:

Dabei genannt die Menge Int(Σ) die Menge aller Funktionen von einer gegebenen Signatur Σ nach {0,1}. Diese σ-Interpretation einer Signatur Σ wird auch Belegung genannt, weil durch diese Funktion jeder Aussagenvariable mit einem Wahrheitswert belegt wird.

Interpretation in der Prädikatenlogik

In der PL1 lässt sich der Aufbau einer Interpretation wie folgt beschreiben:

wobei gilt:

• U_I = nichtleere Trägermenge (engl. carrier set) mit allen Objekten einer Interpretation
• Func_I = Funktionsmenge:

• Pred_I = Menge von Relationen:

Eine Interpretation I in PL1 bildet Funktoren und Prädikaten der Signatur auf Objekte der zu repräsentierenden Welt über dem Universum U gemäß folgender Tabelle ab:

Nullstellige Funktoren	Elemente aus U
Ein- oder mehrstellige Funktoren	Funktionen
Nullstellige Prädikate	Belegung mit Wahrheitswert
Einstellige Prädikate	Teilmenge von U
Mehrstellige Prädikate	Relationen R

Beispiel:

Seien Signatur Σ = ({eins⁰,plus²},{gleich²}) mit pⁱ = p, mit Stelligkeit i und Interpretation

gegeben. So gilt:

I(eins)
I(plus)
I(gleich)

Die Menge der Formeln über eine Signatur Σ ist ein wesentlicher Bestandteil eines logischen Systems. Formeln bilden die syntaktische Repräsentation von Objekten der zu repräsentierenden Welt W, von Aussagen über diese Objekte, sowie von Sachverhalten, mit denen die Welt W beschrieben wird. Mit anderen Worten: Durch Formeln kann man auf rein syntaktischer Ebene Aussagen über die zu repräsentierende Welt treffen. Eine wesentliches Merkmal der Formeln eines logischen Systems ist ihre Wohlformuliertheit (engl. well-formed formula). For(Σ) enthält alle Formeln, die sich entsprechend der voregebenen Grammatik für Formeln aus den Elementen der Signatur Σ bilden lassen. Exakt für diese Formeln gilt das Merkmal der Wohlformuliertheit.

Formeln in Aussagenlogik

Handelt es sich bei der Signatur um eine rein aussagenlogische Signatur, d.h. die Signatur enthält ausschließlich Aussagevariablen (= nullstellige Prädikate), so bilden diese selbst bereits atomare aussagenlogische Formeln, die so genannten Literale. Die Menge For(Σ) umfasst bei einer aussagenlogischen Signatur somit die Signatur selbst und alle komplexeren Formen, die entsprechend der Grammatik für Formeln durch logische Verknüpfungen gebildet werden können.

Beispiel:

Sei eine Signatur Σ = {Mo,Di,Mi,Do,Fr,Sa,So} gegeben. So können z.B. die folgenden Formeln gebildet werden:

Formeln in Prädikatenlogik

Neben den in dem vorangegangenen Abschnitt aufgeführten aussagenlogischen Formeln For(Σ_AL) können Formeln in der prädikatenlogischen Formelmenge For(Σ) ebenso Variablen und Quantifizierungen über diese Variablen enthalten. Enthält eine Signatur Σ das einstellige Prädikat P(x), so enthält die Formelmenge For(Σ) das Prädikat selbst, sowie existentielle und universelle Quantifizierung der Aussage P über die Individuenvariable x

Beispiel:

Sei eine Signatur Beispiel: = {Vater(x,y), Großvater(x,y)} gegeben und seien x, y, z Variablen, so lässt sich daraus die folgende Formel ableiten: Vater(x,y) Vater(y,z)Großvater(x,z)

Sei ferner eine Signatur Σ={loves(x,y)} gegeben, wobei x, y Variablen für Personen nennen. So lassen sich folgende Sätze durch prädikatenlogische Formeln über dieser Signatur formulieren:

Jeder liebt Jemanden
Jemand liebt Jemanden
Jeder liebt Jeden
Niemand liebt Jeden
Jemand liebt Niemanden

Zusammen mit der Interpretation einer Signatur stellt die Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen den syntaktisch durch Formeln repräsentierten Objekten einer Welt W und deren Semantik in W dar. Eine Erfüllungsrelation gibt an, wann eine Formel in einer Interpretation gilt und ob eine Formel in einer Interpretation wahr oder falsch ist. Da diese Relation eine der Grundkomponenten des logischen Systems ist, stellt jedes logische System eine solche Erfüllungsrelation (satisfaction relation) bereit:

Beispiel:

Sei I₁eine Signatur, A ein Literal und gelte I₁(A) = 1, dann gilt .

Überträgt man die Erfüllungsrelation auf eine Relation zwischen Formeln , so erhlt man die logische Folgerung:

Dabei wird gelesen als "aus F folgt logisch G" oder "G folgt logisch aus F".==Geschichte der Logik==

Das erste ausgearbeitete System einer formalen Logik war die Logik von Aristoteles. Sein Verdienst um die formale Logik war es, dass er die Formen der Verknüpfung von Gedanken in einem Schluss entdeckte, die er Syllogismus nannte.

Auch führte Aristoteles Variablen in die Logik ein, indem er mit den Buchstaben A den Oberbegriff, mit B den Mittelbegriff und mit C den Unterbegriff des Syllogismus genannte. Das ermöglichte es, die allgemeinsten logischen Regeln und Gesetze aus der Fülle der konkreten Beispiele mit aller Deutlichkeit herauszustellen.

Damit zeigte er, welche Formen der Verknüpfung zur Wahrheit führen, und was man tun muss, um Fehler in dem mittelbaren Schluss zu vermeiden. Aristoteles nahm die Modi (Modus eines Syllogismus ) der ersten Figur des Syllogismus, z.B. Barbara, Celarent , Darii und Ferio , als Ausgangsaxiome und erarbeitete formale Regeln zur Reduktion der Figuren des Syllogismus auf die erste Figur, die er vollkommene nannte und für die augenscheinlichste und überzeugendste Form des Beweises hielt.

Gleichfalls auf Aristoteles geht die (allerdings nicht in seiner Analytik, sondern in seiner Metaphysik entwickelte Lehre von einigen fundamentalen Grundsätzen menschlichen Denkens, die in der traditionellen Logik häufig als Denkgesetze genannt werden. Hierzu zählen der Identitätssatz, der Satz vom Widerspruch, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und der Satz vom zureichenden Grund .

In verschiedenen anderen Werken (in De interpretatione und der 2. Analytik hat sich Aristoteles zudem mit zentralen sprachphilosophisch-logischen Termini wie Urteil und Begriff und allgemeinen Regeln des Beweises (Beweisregeln ) und des Widerlegens (Widersprüchlichkeit, logischer Widerspruch , Widerlegung) beschäftigt.

• Aristoteles (384-322 v.u.Z.):
  • Entwicklung der bis in das 19. Jahrhundert benutzten Syllogistik, einer Vorform der Prädikatenlogik.
• Cicero (106-43 v.u.Z.)
  • Er übernahm von Aristoteles die Lehre von der Logik und übertrug sie als Ars logica in das Lateinische: De finibus bonorum et malorum.
• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716):
  • Erste Ansätze zu einer symbolischen Logik; Aufstellung des Leibnizschen Gesetzes
• George Boole (1815-1864):
  • Entwicklung der Algebra.
• Georg Cantor (1845-1918):
  • Entwicklung der Mengenlehre.
• Gottlob Frege (1848-1925):
  • Entwicklung der modernen Aussagen- und Prädikatenlogik.
• Edmund Husserl (1859-1938):
  • Kritik des Psychologismus, der die Logik auf psychische Vorgänge reduziert sie damit als beliebig, willkürlich und zufällig annimmt.
• Bertrand Russell (1872-1970):
  • Russellsche Antinomie.
• Kurt Gödel (1906-1978):
  • Vollständigkeit der Prädikatenlogik. Unvollständigkeit der Peano-Arithmetik.

• Lewis Carrol (1832-1898, Pseudonym von Charles Lutwidge Dodgson)
• Charles Sanders Peirce (1839 - 1914)
• Jan Lukasiewicz (1878 - 1956)
• Ludwig Wittgenstein (1889-1951)
• Gotthard Günther (1900 - 1984)
• Alfred Tarski (1901 - 1983)
• Willard Van Orman Quine (1908 - 2000)
• Paul Lorenzen (1915 - 1994)
• Raymond M. Smullyan (geb. 1919)
• George Spencer-Brown (geboren 1923)
• Kazimierz Ajdukiewicz